Diario delle Lezioni (al 21/12/16 - fine del corso)

I Settimana (26-30 Settembre)
Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari.
Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi invertibili. Omomorfismi di anelli. Teorema Fondamentale dell'Omomorfismo. Anelli-quoziente ed ideali degli anelli-quoziente. Teorema di Krull-Zorn: ogni ideale proprio e' contenuto in un ideale massima
le.

Wolfang Krull
(26 August 1899, Baden-Baden, Germany,
12 April 1971, Bonn, Germany)
Max Zorn
(June 6, 1906 in KrefeldGermany,

March 9, 1993 in BloomingtonIndiana, USA)

II Settimana (3-7 Ottobre)
Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.
Anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa (saturata o non saturata).
Un dominio è un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo e, quindi, un PID è un UFD.
Omomorfismo naturale da un anello al suo anello delle frazioni. Proprietà di universalità dell'anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa.

III Settimana (10-14 Ottobre)
Omomorfismo naturale da un anello al suo anello delle frazioni. Proprietà di universalità dell'anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa.
Proprietà e descrizione dell'ideale nucleo. Localizzazioni ed anelli locali.  Esempi. Ideali ed ideali primi in un anello di frazioni. Esempi.
Nilradicale e radicale primo (o radicale dell'ideale (0)). Anello ridotto ed ideali primi di un anello ridotto.
Operazioni tra ideali ed esempi. Distributività delle operazioni tra ideali. 
Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprietà. 
Nathan Jacobson
(October 5, 1910, WarsawPolandRussian Empire
December 5, 1999, Hamden, Connecticut

IV Settimana (17-21 Ottobre)  
Prodotto diretto di anelli. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi.



Moduli su un anello. Esempi e prime proprietà. Hom_A(M, N) e dualità. 
L'anello (non commutativo) End_A(M
contiene come sottoanello (commutativo).  Moduli finitamente generati. Moduli liberi. 
Sottomoduli, moduli-quoziente. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli.
Teorema di Cayley-Hamilton per A-moduli finitamente generati ("determinant trick"). 
Lemma di Nakayama: varie formulazioni.
Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo (cenni). 


V Settimana (24-28 Ottobre)  
Seminario sugli ideali primi di un anello di polinomi.
La topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello: chiusi, aperti e base di aperti 
quasi-compatti. Esempi.
Applicazioni spettrali associate ad omomorfismi tra anelli: continuità, immersioni aperte e chiuse. 
Controimmagini di chiusi e di aperti basici.
Immersioni spettrali aperte e chiuse. Esempi: applicazioni spettrali associate alla localizzazione
 di un anello rispetto ad un suo elemento e quelle associate alla proiezione di un anello 
in un suo anello quoziente. 
Densità della applicazione spettrale associata ad un omomorfismo iniettivo di anelli.


Oscar Zariski (born Oscher Zaritsky)
(
RussianО́шер Зари́цкий)
April 24, 1899, in 
KobrinRussian Empire (today Belarus),
died July 4, 1986, 
Brookline, Massachusetts)
             



VI Settimana (31 Ottobre - 4 Novembre)
Applicazioni spettrali: continuità, immersioni aperte e chiuse. 
Chiusura di un sottospazio dello spettro primo.
Punti chiusi di Spec(A).  Spec(A) è uno spazio T_0 , ma non T_1. Spec(A) è uno spazio 
T_1 se e soltanto se è T_2 se e soltanto se ogni ideale primo è massimale.
Prodotto diretto e somma diretta di moduli: loro proprietà universali.
Moduli liberi: caso generale e caso di moduli finitamente generati. Proprietà di universalità del 
modulo libero.
Prodotto tensoriale di moduli: proprietà universale e sua costruzione.


VII Settimana (7 - 11 Novembre)
Didattica sospesa per lo svolgimento delle prove di valutazione in itinere di tutti i corsi del Primo semestre.


VIII Settimana (14 -18 Novembre)
Dipendenza integrale. Esempi e controesempi. La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprietà 
delle estensioni intere: stabilità per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni.
Estensioni intere ed ideali massimali. 
La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprietà 
delle estensioni intere: stabilità per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni.
Estensioni intere ed ideali massimali. 

IX Settimana (21 - 25 Novembre)
Teorema del "Lying Over" e Teorema del "Going-Up" di Cohen-
Seidenberg. 
Cenni al Teorema dell'Incomparabilità ed al Teorema del "Going-down".


Abraham Seidenberg
June 2, 1916, Washington D.C.
May 3, 1988 , Milan, Italy

[di Irvin S. Cohen (1917 – 1955)  morto a 38 anni non sono disponibili immagini sul web.

He was a student of Oscar Zariski at Johns Hopkins University. and then was a faculty at M.I.T. 
In 1946 he proved the unmixedness theorem for power series rings, as a result of which 
Cohen–Macaulay ring are named after him and F. S. Macaulay. Cohen and Seidenberg 
are famous for their Cohen-Seidenberg theorems.]

Per ogni dominio D si ha D = ∩ D_M, M ideale massimale di D. 
Un dominio è integralmente chiuso se e soltanto se lo e' localmente.

Anelli di valutazione. 
Prime proprietà ed esempi. Sopraanelli di anelli di valutazione. Anelli di valutazione ed anelli 
integralmente chiusi. Lemma u, u^{-1}.
Anelli di valutazione ed elementi massimali negli insiemi di domini locali. Teorema di Krull: 
un dominio integralmente chiuso è intersezione dei suoi sopraanelli di valutazione.

Wolfang Krull
a 21 anni d'età, Göttingen

X Settimana (28 Novembre - 2 Dicembre)

Anelli noetheriani: definizione, caratterizzazioni ed esempi.

Stabilità della proprietà di essere un anello noetheriano per passaggio agli anelli-quoziente
ed agli anelli di frazioni. 

Amalie Emmy Noether
23 March 1882, Erlangen, Bavaria, Germany
14 April 1935, Bryn Mawr, Pennsylvania, USA




David Hilbert
January 23, 1862, Kaliningrad
February 14, 1943, Göttingen

Seminario: Going-down ed incomparabilità. Preservazione della dimensione in estensioni 
integrali.

XI Settimana (5 - 9 Dicembre)
Introduzione e motivazioni per il Teorema della Base di Hilbert: noetheriano implica che

A[X] noetheriano. Prima parte della dimostrazione del Teorema della Base di Hilbert.
Moduli noetheriani: definizione, prime proprietà ed esempi. Un modulo di tipo finito su 
un anello noetheriano è un modulo noetheriano.
Fine della dimostrazione del Teorema della Base di Hilbert.
Ideali irriducibili ed ideali primari. Esempi e prime proprietà.



Seminario: Applicazioni del BasisSatz di Hilbert: Struttura degli insiemi algebrici, varietà algebriche,
 irriducibilità. 


XII Settimana (12 - 16 Dicembre)
Ogni ideale primo è un ideale irriducibile. In un anello noetheriano ogni ideale irriducibile è 
primario. In un anello noetheriano ogni ideale si decompone nella intersezione di una famiglia finita di
ideali primari.
Ulteriori proprietà degli ideali primari. Radicale primo di un ideale primario. Esempi.
Potenze di ideali massimali e di potenze di ideali primi.
Proprietà degli ideali primari negli anelli noetheriani.
Ulteriori proprietà degli ideali primari. Radicale primo di un ideal primario. Esempi. 
Potenze di ideali massimali e di potenze di ideali primi. Proprietà degli ideali primari negli 
anelli noetheriani.
Unicità degli ideali primi associati ad una decomposizione primaria minimale di un ideale non 
nullo di un anello noetheriano. 
Introduzione al Teorema degli zeri di Hilbert.

XIII Settimana (19 - 21 Dicembre)
Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte" ): Esempi ed applicazioni. 
Varie formulazioni del Teorema degli zeri di Hilbert (cenni).
Valutazioni e Valutazioni discrete (cenni).
Proprietà degli ideali di un anello di valutazione discreta. 
Domini di valutazione discreta (abbreviati, DVR).  Prime caratterizzazioni dei domini di 
valutazione discreta. Un DVR è un PID (ma non viceversa).



                     
Alexander Markowich Ostrowski
5 September 1893, KievRussian Empire
20 November 1986, MontagnolaLuganoSwitzerland
   
Kurt Wilhelm Hensel
29 December 1861
                KönigsbergPrussia 1 June 1941
MarburgGermany



Globalizzazione dei domini di valutazione discreta: domini di Dedekind (cenni). 
Esempi di domini di Dedekind. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede 
una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi 
(=massimali).  Ogni PID e' un Dominio di Dedekind. Gli anelli di interi algebrici 
(anelli ottenuti per chiusura integrale di  Z  in una estensione algebrica finita di  Q) sono 

domini di Dedekind (cenni).








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