I Settimana (26-30 Settembre)
Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari.
Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi invertibili. Omomorfismi di anelli. Teorema Fondamentale dell'Omomorfismo. Anelli-quoziente ed ideali degli anelli-quoziente. Teorema di Krull-Zorn: ogni ideale proprio e' contenuto in un ideale massimale.
Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi invertibili. Omomorfismi di anelli. Teorema Fondamentale dell'Omomorfismo. Anelli-quoziente ed ideali degli anelli-quoziente. Teorema di Krull-Zorn: ogni ideale proprio e' contenuto in un ideale massimale.
Wolfang Krull (26 August 1899, Baden-Baden, Germany, 12 April 1971, Bonn, Germany) |
Max Zorn (June 6, 1906 in Krefeld, Germany, March 9, 1993 in Bloomington, Indiana, USA) |
II Settimana (3-7 Ottobre)
Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.
Anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa (saturata o non saturata).
Un dominio è un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo e, quindi, un PID è un UFD.
Omomorfismo naturale da un anello al suo anello delle frazioni. Proprietà di universalità dell'anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa.
Omomorfismo naturale da un anello al suo anello delle frazioni. Proprietà di universalità dell'anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa.
III Settimana (10-14 Ottobre)
Omomorfismo naturale da un anello al suo anello delle frazioni. Proprietà di universalità dell'anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa.
Proprietà e descrizione dell'ideale nucleo. Localizzazioni ed anelli locali. Esempi. Ideali ed ideali primi in un anello di frazioni. Esempi.
Nilradicale e radicale primo (o radicale dell'ideale (0)). Anello ridotto ed ideali primi di un anello ridotto.
Operazioni tra ideali ed esempi. Distributività delle operazioni tra ideali.
Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprietà.
Nathan Jacobson (October 5, 1910, Warsaw, Poland, Russian Empire December 5, 1999, Hamden, Connecticut |
IV Settimana (17-21 Ottobre)
Prodotto diretto di anelli. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi.
Moduli su un anello. Esempi e prime proprietà. Hom_A(M, N) e dualità.
L'anello (non commutativo) End_A(M)
contiene A come sottoanello (commutativo). Moduli finitamente generati. Moduli liberi.
Sottomoduli, moduli-quoziente. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli.
Teorema di Cayley-Hamilton per A-moduli finitamente generati ("determinant trick").
Lemma di Nakayama: varie formulazioni.
Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo (cenni).
V Settimana (24-28 Ottobre)
Seminario sugli ideali primi di un anello di polinomi.
Applicazioni spettrali associate ad omomorfismi tra anelli: continuità, immersioni aperte e chiuse. La topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello: chiusi, aperti e base di aperti quasi-compatti. Esempi. Controimmagini di chiusi e di aperti basici. Immersioni spettrali aperte e chiuse. Esempi: applicazioni spettrali associate alla localizzazione di un anello rispetto ad un suo elemento e quelle associate alla proiezione di un anello in un suo anello quoziente. Densità della applicazione spettrale associata ad un omomorfismo iniettivo di anelli.
VI Settimana (31 Ottobre - 4 Novembre)
Applicazioni spettrali: continuità, immersioni aperte e chiuse.
Chiusura di un sottospazio dello spettro primo.
Punti chiusi di Spec(A). Spec(A) è uno spazio T_0 , ma non T_1. Spec(A) è uno spazio
T_1 se e soltanto se è T_2 se e soltanto se ogni ideale primo è massimale.
Prodotto diretto e somma diretta di moduli: loro proprietà universali.
Moduli liberi: caso generale e caso di moduli finitamente generati. Proprietà di universalità del
modulo libero.
VII Settimana (7 - 11 Novembre)
Didattica sospesa per lo svolgimento delle prove di valutazione in itinere di tutti i corsi del Primo semestre. VIII Settimana (14 -18 Novembre) Dipendenza integrale. Esempi e controesempi. La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprietà delle estensioni intere: stabilità per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni. Estensioni intere ed ideali massimali. La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprietà delle estensioni intere: stabilità per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni. Estensioni intere ed ideali massimali. IX Settimana (21 - 25 Novembre) Teorema del "Lying Over" e Teorema del "Going-Up" di Cohen- Seidenberg. Cenni al Teorema dell'Incomparabilità ed al Teorema del "Going-down".
[di Irvin S. Cohen (1917 – 1955) morto a 38 anni non sono disponibili immagini sul web.
He was a student of Oscar Zariski at Johns Hopkins University. and then was a faculty at M.I.T.
In 1946 he proved the unmixedness theorem for power series rings, as a result of which
Cohen–Macaulay ring are named after him and F. S. Macaulay. Cohen and Seidenberg
are famous for their Cohen-Seidenberg theorems.]
Per ogni dominio D si ha D = ∩ D_M, M ideale massimale di D. Un dominio è integralmente chiuso se e soltanto se lo e' localmente. Anelli di valutazione.
Prime proprietà ed esempi. Sopraanelli di anelli di valutazione. Anelli di valutazione ed anelli
integralmente chiusi. Lemma u, u^{-1}.
Anelli di valutazione ed elementi massimali negli insiemi di domini locali. Teorema di Krull:
un dominio integralmente chiuso è intersezione dei suoi sopraanelli di valutazione.
X Settimana (28 Novembre - 2 Dicembre)
Anelli noetheriani: definizione, caratterizzazioni ed esempi.
Stabilità della proprietà di essere un anello noetheriano per passaggio agli anelli-quoziente
ed agli anelli di frazioni.
Seminario: Going-down ed incomparabilità. Preservazione della dimensione in estensioni
integrali.
XI Settimana (5 - 9 Dicembre)
Introduzione e motivazioni per il Teorema della Base di Hilbert: A noetheriano implica che
A[X] noetheriano. Prima parte della dimostrazione del Teorema della Base di Hilbert.
Moduli noetheriani: definizione, prime proprietà ed esempi. Un modulo di tipo finito su
Fine della dimostrazione del Teorema della Base di Hilbert. Ideali irriducibili ed ideali primari. Esempi e prime proprietà.
Seminario: Applicazioni del BasisSatz di Hilbert: Struttura degli insiemi algebrici, varietà algebriche,
irriducibilità.
XII Settimana (12 - 16 Dicembre)
Ogni ideale primo è un ideale irriducibile. In un anello noetheriano ogni ideale irriducibile è
primario. In un anello noetheriano ogni ideale si decompone nella intersezione di una famiglia finita diideali primari. Ulteriori proprietà degli ideali primari. Radicale primo di un ideale primario. Esempi. Potenze di ideali massimali e di potenze di ideali primi. Proprietà degli ideali primari negli anelli noetheriani. Ulteriori proprietà degli ideali primari. Radicale primo di un ideal primario. Esempi.
Potenze di ideali massimali e di potenze di ideali primi. Proprietà degli ideali primari negli
anelli noetheriani.
Unicità degli ideali primi associati ad una decomposizione primaria minimale di un ideale non
nullo di un anello noetheriano.
Introduzione al Teorema degli zeri di Hilbert.
XIII Settimana (19 - 21 Dicembre)
Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte" ): Esempi ed applicazioni.
Varie formulazioni del Teorema degli zeri di Hilbert (cenni).
Valutazioni e Valutazioni discrete (cenni).
Globalizzazione dei domini di valutazione discreta: domini di Dedekind (cenni).
Esempi di domini di Dedekind. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede
una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi
(=massimali). Ogni PID e' un Dominio di Dedekind. Gli anelli di interi algebrici
(anelli ottenuti per chiusura integrale di Z in una estensione algebrica finita di Q) sono
domini di Dedekind (cenni).
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